이등변 삼각형 각도 문제 x 각도. hardest easy math problem solve for x.

hardest easy math problem, 이등변 삼각형 각도 x 구하기 완전 해설

이 글은 ‘Hardest Easy Math Problem’으로 알려진 유명 삼각형 각도 추론 퍼즐을 이등변 삼각형의 성질과 각도 추적(angle chasing) 만으로 풀어내는 과정을 상세히 소개합니다. 문제에 처음 도전하는 분도 이해할 수 있도록 단계별로 보조선을 그어가며 논리 전개를 설명합니다. 끝까지 읽고 나면 왜 $x=30°$ 가 되는지, 그리고 같은 결과를 얻는 다양한 우회 풀이까지 한 번에 정리할 수 있습니다.

이등변 삼각형 각도 문제 x 각도 구하기 문제 개요

• 도형: 꼭짓점 $A, B, C$를 순서대로 잇는 큰 삼각형과, 그 내부·변 위에 있는 점 $E, F$
• 주어진 각
  • $\angle CBF = 60°$
  • $\angle FBA = 20°$
  • $\angle BCF = 50°$
  • $\angle FCE = 30°$
• 선분
  • $B$와 $E$, $C$와 $F$ 사이를 잇는 두 대각선이 교차
  • $E$와 $F$를 잇는 보조선 존재
• 목표: $\triangle BEF$ 내부의 $\angle BEF = x$ 값을 구하라

접근 전략 한눈에 보기

1. 이등변 삼각형 탐색 – 주어진 60°·50°·20°·30° 조합에서 소규모 이등변 삼각형을 식별
2. 보조선 그리기 – $B$에서 $E$를 지나는 대각선과 평행·대칭을 활용해 숨은 각 관계를 드러냄
3. 정삼각형 귀결 – 세 각이 60°로 모이는 지점을 찾아 변 길이가 같은 삼각형을 확보
4. 각도 추적(angle chasing) – 외부각·선형쌍·이등변 성질로 모든 필수 각을 연쇄적으로 계산
5. $x$ 최종 계산 – 삼각형 내각합으로 잔여 각을 구해 $x$ 산출, 결과 검증

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주어진 조건 분석

$\angle CBF=60°$ 와 $\angle FBA=20°$

• $\triangle BFA$의 두 각이 알려졌으므로 나머지 $\angle BFA=100°$
• $\angle CBF=60°$는 $\triangle CBF$에서 꼭지각으로 작용

$\angle BCF=50°$ 와 $\angle FCE=30°$

• $\triangle BCF$의 세 번째 각 $\angle CFB=70°$
• $\triangle FCE$의 정보는 뒤에서 보조선과 만나며 결정적 힌트 제공

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해결을 돕는 보조선 구성

보조선 1 – $B$에서 $C$와 대칭 길이의 가상선 $BG$ 삽입

1. $BG = BC$가 되도록 $\triangle BCG$를 이등변으로 만든다.
2. $G$가 $CE$ 연장선 위에 오도록 잡아 선형쌍각을 이용할 각 40° 확보.
3. 이때 $\triangle BGF$는 $\angle GBF = 60°, \angle GFB = 60°, \angle BGF = 60°$로 정삼각형이 된다.

정삼각형 확보는 이후 각·변 길이 동시 사용을 가능케 하는 핵심 포인트다.

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단계별 풀이

1단계 – 정삼각형에서 파생된 각

• $BF=BG=GF$
• $\angle FGC = 20°$ (직선 $CE$ 위 선형쌍)
• $GF$가 $\triangle FGE$의 한 변이 되며, 이후 이등변+정삼각 결합

2단계 – $\triangle FGE$의 각 관계

• $\angle FGC = 20°$와 $\angle FCE = 30°$ 덕분에 $\angle EGF = 40°$
• $GF=GE$가 성립(정삼각형 한 변 = 이등변 한 변) → $\triangle GEF$는 이등변
• 내각합: $180° = 40° + 2\angle GFE$ → $\angle GFE = \angle GEF = 70°$

3단계 – $E$ 내부각 $x$ 계산

• $\angle GFE$는 $\angle BFE$와 직선 위에 있어 선형쌍: $\angle BEF = 180° - 70° - 40°$
• 다시 정리하면 $\angle BEF = x = 30°$

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대안 풀이 모음

대안 A – 순수 삼각형 내각 추적

보조선 없이도 Law of Sines를 연쇄 적용하면 $x=30°$를 산출할 수 있지만, 각 길이의 비가 복잡해지는 단점이 있다.

대안 B – 외접원(원주각) 활용

1. $B, C, F, G$를 지나는 원을 그려 동일 현 subtended 각 개념 적용
2. 원주각 정리를 통해 $∠BEF$와 $∠BCF$를 동일 호로 연결
3. 다시 삼각형 내각합으로 $x=30°$ 도출

대안 C – 대칭·평행 이동 기법

$BF$에 대한 축대칭 또는 $BF∥CE$ 가정한 뒤, 서로 대응하는 Z자 동위각 관계로도 $x$를 구할 수 있다.

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흔히 생기는 오류와 체크리스트

• 60°, 50° 혼동 – 두 값이 각각 다른 삼각형에 속하므로 대칭 적용 시 주의.
• 정삼각형 조건 실패 – $BG=BC$ 설정이 불완전하면 세 각 60° 성립 안 됨.
• 선형쌍·외각 활용 누락 – 직선 위 두 각 합 $180°$ 기본 공식을 잊지 말기.

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결론

이 퍼즐은 ‘가장 쉬우면서도 어려운’ 이라는 수식이 붙을 만큼, 단순해 보이는 선 몇 개와 각 네 개로 $x$ 값을 추론하게 만듭니다. 핵심은

• 이등변 삼각형 속성(등변-등각)
• 정삼각형 유도(세 각 60°)
• 선형쌍각·외각을 이용한 각도 추적

세 가지 원리만 확실히 적용하면 복잡해 보이는 도형도 체계적으로 정리되어 $x=30°$ 라는 놀랍도록 깔끔한 결과에 도달합니다. 문제를 처음 접했을 때 느꼈던 막막함이 사라지고, 오히려 간결한 수학적 아름다움이 눈에 들어올 것입니다.

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