사각뿔대 수직단면 오각형 개수 문제, 수직 자르기

사각뿔대 수직단면 ― 삼각형·사다리꼴·오각형까지 한눈에 이해하기

중학생 자녀의 숙제였던 “사각뿔대의 수직단면 도형을 모두 써 보라”는 문제에서 종종 논쟁의 불씨가 되는 것이 오각형 단면입니다. “교과서에는 삼각형과 사다리꼴만 나온다”는 주장과 “오각형도 분명히 나온다”는 주장이 맞붙으면서, CAD(3‑D 모델링)까지 동원해 가족토론이 격화되는 경우도 적잖습니다.

저분 와이프는 공간감각 제로시네. 밑면에 수직이라고 했다. 밑면 변에 평행 혹은 수직이라는 조건은 없음.

이 글에서는

1. 사각뿔대(정식 명칭: 각뿔대·truncated square pyramid)의 기초 정의
2. 밑면에 수직인 단면이 만들어 낼 수 있는 도형의 모든 경우
3. 오각형 단면이 실제로 가능한 이유와 작도 절차
4. 비율이 극단적으로 변해도(윗면:밑면=1:10000 등) 오각형 단면이 존재함을 보이는 일반적 증명

을 순차적으로 살펴보겠습니다. 공간 감각이 부족한 학습자도 그림 없이 머릿속에서 구조가 잡히도록, 가능한 한 상세히 설명하도록 구성했습니다.

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사각뿔대의 기본 구조와 용어 정비

1. 밑면(Base) : 크기가 큰 아래쪽 정사각형.
2. 윗면(Top face) : 평행하게 잘려 나간 위쪽 정사각형. 실제 문제에서는 ‘정사각형’이 아닌 ‘사변형’으로 주어져도 단면 도형 분류는 동일합니다.
3. 측면(Side face) : 사다리꼴 4장. 각 측면은 밑면의 변과 윗면의 대응 변을 잇는 평면입니다.
4. 고도(Height) : 밑면과 윗면이 이루는 두 평면 사이의 최소 거리.
5. 수직단면(Vertical section) : 밑면에 수직인 평면으로 절단했을 때 생기는 단면.

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수직단면이 될 수 있는 모든 도형

1. 삼각형

• 절단 평면이 밑면의 꼭짓점 A와 대응하는 윗면의 꼭짓점 A′ 를 통과하고, 나머지 한 점을 밑면 내부 점 P로 잡으면 삼각형 단면이 생성됩니다.
• 단면은 측면 1장, 밑면, 윗면을 각각 한 번씩 만난 뒤 닫힙니다.

2. 사다리꼴

• 절단 평면이 밑면의 두 변(서로 맞대고 있지 않은 변)을 동시에 통과하면 밑면·윗면과 평행한 선분이 두 쌍 생겨 사다리꼴이 됩니다.
• 교과서가 주로 다루는 ‘대표 단면’으로, 공간 감각 검증용 기본 예제입니다.

3. 오각형

• 논란의 핵심. 밑면에 수직이면서
  1. 밑면의 두 변을 연속적으로 통과하고
  2. 윗면의 변 중 하나(단, 위아래 대응·평행 관계가 아닌 변)를 통과하며
  3. 측면 두 장(서로 맞닿은 면)을 잇는 평면을 잡으면 삼각형+사다리꼴이 합쳐진 오각형 단면이 필연적으로 형성됩니다.

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왜 오각형이 되는가? - 공간적 직관을 공식화하기

다만 문제는 모든 종류의 사각 뿔대(예컨대 윗면대 아랫면 비율이 1:2에서는 되는데 1:10000인 사각 뿔대나 99.99:100 비율에서도 되느냐를 기하학적으로 증명할 수 있어야 하는데 다음 조건이라면 성립할 것 같음. 중심을 비켜 단면을 자르되 밑면의 양변을 통과하면서 밑면의 양변에 평행하지 않는 윗면의 변도 반드시 통과하게 수직단면을 내는 조건 하에서는 단면이 항상 오각형이 됨. 사실 아래 양변과 그 변에 평행하지 않는 윗면의 한변을 동시에 통과하게 자르려면 중심을 지날 수가 없음. 윗면도 반드시 2변을 지나야하지만 서로 마주 보는 변이 아닌 맞닿은변을 지나게 자르면 단면이 오각형일 수 밖에 없음.

1. 평면·면·선분의 만남을 ‘개수’ 관점으로 정리

만나는 면	발생 선분	비고
밑면	2	평면이 밑면을 두 번 뚫고 지나감
측면	2	서로 이웃한 두 측면을 스친다
윗면	1	윗면 변 하나와 만남

→ 총 5개의 교선이 만들어지므로 다각형의 변 개수 = 5, 즉 오각형.

2. ‘조건 1‑3’이 만족되는 이유

• 수직 조건은 평면의 방향을 하나로 ‘고정’합니다(밑면과 직교).
• 밑면 변 두 개를 지나도록 평면을 돌리면 이미 교선 2개 확보.
• 그 평면이 밑면 중심을 비켜가기만 하면 윗면 변 중 대응·평행 관계가 아닌 변을 자연스레 스치게 됩니다.
  • 밑면 변에 수직 방향의 체계상, 윗면 대응 변과는 절대 평행할 수 없으므로 한 번만 만난다 → 교선 1개 추가.
• 평면이 양 옆 측면을 모두 통과하면서 양 측면과 교선 2개 추가.

결국 2+1+2=5개의 교선을 얻어 오각형.

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비율이 극단적으로 달라져도 오각형 단면은 존재하는가?

1. 윗면이 점이 되는 극한(비율 → 0)

• 각뿔(정사각뿔)에서는 ‘꼭짓점 하나’만 윗면으로 남는다.
• 수직 평면이 밑면 변 2개를 통과하고 윗꼭짓점을 잡으면 삼각형 단면이 될 뿐 오각형 불가.
• 즉, 윗면이 0면적인 특수 형태에서는 오각형 단면이 없다.

2. 윗면 가로·세로가 1:10000처럼 극단적으로 작아도 면적이 0이 아니라면

• 윗면 변이 존재 → 교선 1개 확보 가능.
• 따라서 ‘교선 5개’ 논리는 유지 → 오각형 단면 가능.

3. 윗면이 밑면과 거의 같은 크기(99.99:100)

• 밑면 중심을 살짝 비켜가는 평면을 택하면 밑·윗면이 모두 2·1회씩 교차 → 역시 오각형.

결론 : “윗면 ≠ 0 면적”이면 비율이 어떻게 바뀌든 적어도 하나 이상의 오각형 수직단면은 반드시 존재합니다.

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오각형 단면 작도(실험) 매뉴얼

단계별 절차

1. 밑면 한 변과 인접 변을 선택해 두 점 A, B 설정.
2. 그 두 점을 지나는 수직 평면을 잡는다(밑면과 직교).
3. 평면을 밑면 중심에서 ε만큼 비켜가도록 회전(ε는 임의의 양수).
4. 윗면에 닿을 때까지 평면을 ‘틸팅’해 윗면 변 C–D와 만난다.
5. CAD/Grapher 프로그램에 평면 방정식을 입력 → 단면 자동 추출 → 다각형 변 개수 카운팅 = 5.

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학부모·교사의 실전 지도 팁

1. 눈으로 설득하기

• 스마트폰 AR(증강현실) 모델링 앱 활용 → 뿔대 위에 평면 스캔 삽입.
• 회전 슬라이더를 돌리며 변 개수가 3 → 4 → 5로 바뀌는 지점을 실시간 확인.

2. ‘개수를 세라’ 접근법

• “평면이 면을 몇 번 뚫는가?”를 세는 습관을 들이면 도형 분류가 간단해짐.

3. 교과서보다 한 발 더 나아가기

• 정답지에는 삼각형·사다리꼴만 있다면, 이유는 ‘중등 과정에서 유도 없이 결과만 제시’하는 편집상 생략.
• 학습자에게 “정답지와 다른 가능성은 언제나 존재”한다는 메타인지 교육 기회로 활용.

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흔한 오해와 반례 정리

• “밑변에 평행해야 사다리꼴” → 평행 여부에 따라 삼각형 또는 오각형도 얼마든지 나옴.
• “윗면 비율이 극단적이면 오각형 불가” → 0 면적 한계만 넘으면 가능.
• “수직단면 변 개수 = 만나는 면 개수” → 틀림. 한 면을 두 번 통과할 수 있다(밑면 두 변).

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확장 학습: 다각형 단면의 상한

일반적인 정 n 각뿔대에서 ‘밑면에 수직인’ 단면이 될 수 있는 다각형 최대 변 개수는 n + 1 개입니다. 정사각뿔대(n = 4)라면 최대 5(오각형), 정육각뿔대라면 최대 7(칠각형)까지 가능합니다. 이론적 원리는 동일: 밑면을 두 번, 측면을 n‑2번, 윗면을 1번 교차.

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결론

• 사각뿔대의 수직단면 도형은 삼각형·사다리꼴·오각형 세 종류.
• 오각형 단면은 “밑면 둘·측면 둘·윗면 하나”를 교차하는 평면으로 언제든 재현 가능.
• 윗면이 면적 0인 ‘꼭짓점’ 상태만 아니라면, 비율이 극단적으로 치우쳐도 오각형 단면은 성립.
• 문제 풀이에서 가장 중요한 것은 **‘평면이 면을 몇 번 통과하는지 세는 사고’**로, 공간감각이 부족해도 논리적으로 도형을 판별할 수 있다.

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나 고등학생 때 아이큐 검사 만점자임. 공간능력 만렙이니까 믿으라고. 니들 머리에 안 그려지는 공간이 난 눈에 보이듯 머릿속에 그려지니까. 그 이외에 삼각형 단면 사다리꼴 단면에 대한 설명은 생략한다. 그건 뭐 원래 해답에도 정답이니까.