이등변 삼각형 넓이 공식 유도, 예시

이등변 삼각형 넓이 공식 유도, 예시

수학 기본 도형 중에서도 이등변 삼각형은 대칭성과 단순한 구조로 인해 중·고등학생 교과과정뿐 만 아니라 공학·건축 설계에서도 자주 등장합니다. 이번 포스팅에서는 이등변 삼각형의 정의부터 시작해 이등변 삼각형 넓이 공식 4가지 유도 방법, 실전 예시, 자주 묻는 질문까지 정리해 드리겠습니다.

탄탄한 개념 정리는 물론, 다양한 풀이 법을 습득해 문제 상황에 맞춰 유연하게 적용해 보세요.

이등변 삼각형의 정의와 기본 특징

이등변 삼각형 정의

• 두 변의 길이가 서로 같은 삼각형을 이등변 삼각형이라고 합니다.
• 두 변이 $a$로 같을 때 밑변을 $b$라고 하면, 꼭짓점 각(꼭대기 각) $\theta$와 밑각 $\alpha$가 존재합니다.

이등변 삼각형 특징

• 두 밑각은 항상 서로 같다 $(\alpha = \alpha)$.
• 꼭지점에서 밑변을 수직으로 내린 높이 $h$가 밑변을 둘로 똑같이 나누어 대변(중선, 방등분선, 수선) 역할을 동시에 하게 됩니다.

이등변 삼각형 넓이 공식 활용 분야

• 지붕 박공, 현수교 케이블, 인터리버 트러스(교량) 등 구조 설계
• 로고·심벌 디자인에서 대칭 미학 적용
• 삼각함수 기본 도입 단계(삼각비) 예제 및 증명

이등변 삼각형 넓이 공식을 구하는 네 가지 대표 접근

1. 고전적 높이 활용(피타고라스 + 삼각비)

밑변을 $b$, 두 이등변 변을 각각 $a$라고 두고, 꼭지점에서 밑변에 그은 수선을 높이 $h$라 하면

$$
h=\sqrt{a^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2}.
$$

따라서 넓이 $S$는

$$
S=\frac{b\cdot h}{2}
=\frac{b}{2}\sqrt{a^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}}.
$$

2. 삼각비(사인 법칙) 이용

꼭짓점 각을 $\theta$라 놓으면

$$
S=\frac{1}{2}a^2\sin\theta.
$$

• 장점: 높이를 직접 계산하지 않아도 각도 정보만 있다면 즉시 산출.
• 유도: 밑변을 밑변 양쪽으로 둘로 나눈 직각삼각형 내에서 $\sin\frac{\theta}{2}=\frac{b/2}{a}$를 활용.

3. 헤론의 공식 응용

둘레가 $2a+b$인 삼각형의 반둘레 $s=a+\frac{b}{2}$.

$$
S=\sqrt{s(s-a)^2(s-b)}.
$$

이등변 조건 덕분에 일반 삼각형보다 계산식이 간소화됩니다.

4. 벡터/외적 기법

평면 좌표 상 꼭짓점을 $\mathbf{A}(0,0),\
\mathbf{B}(b,0),\
\mathbf{C}\left(\frac{b}{2},h\right)$로 두면

$$
\vec{AB}=(b,0),\quad
\vec{AC}=\left(\frac{b}{2},h\right).
$$

벡터 외적 크기 $|\vec{AB}\times\vec{AC}|=|b\cdot h|$는 평행사변형 넓이이며, 삼각형이므로 절반만 취해

$$
S=\frac{1}{2}bh.
$$

좌표 기하(analytic geometry)에 익숙하다면 가장 직관적인 방법입니다.

실전 예시로 이해 다지기

예시 1 - 두 변과 밑변 알려진 경우

• 조건: $a=10\text{ cm},\ b=12\text{ cm}$
• 높이: $h=\sqrt{10^2-\left(\frac{12}{2}\right)^2} =\sqrt{100-36}=8\text{ cm}$
• 넓이: $S=\frac{12\cdot 8}{2}=48\text{ cm}^2$

예시 2 - 한 변과 정해진 꼭짓점 각

• 조건: $a=7\text{ m},\ \theta=50^\circ$
• 넓이: $S=\frac{1}{2}\cdot 7^2\sin 50^\circ
  \approx \frac{49}{2}\cdot 0.7660
  \approx 18.77\text{ m}^2$

예시 3 - 둘레와 같은 두 변 관계

둘레가 $P=40\text{ cm}$이고 밑변이 두 이등변 변의 $\frac{4}{5}$라면?

• $2a+b=40,\ b=\frac{4}{5}a$
• $2a+\frac{4}{5}a=40\Rightarrow a=\frac{40}{\frac{14}{5}}=\frac{200}{14}\approx14.29$
• $b=11.43,\ h\approx\sqrt{14.29^2-\left(5.715\right)^2}\approx12.97$
• $S\approx\frac{11.43\cdot12.97}{2}\approx74.1\text{ cm}^2$

자주 묻는 질문 FAQ

이등변 삼각형에서 정삼각형은 특별한 경우인가요?

• 세 변이 모두 같은 정삼각형은 이등변 삼각형의 특수 케이스입니다(세 쌍의 밑각·꼭짓점 각 모두 60°).

밑각을 알고 둘레만 주어진 문제는 어떻게 풀죠?

• 밑각 $\alpha$를 알 때, 삼각비 및 둘레 식 $2a+b=P$ 를 연립해 $a,b$를 구한 다음 공식 적용하면 됩니다.

좌표 평면에서 불편할 때 가장 간단한 방법은?

• 좌표를 $(-\frac{b}{2},0),(\frac{b}{2},0),(0,h)$로 두면 외적 계산이 단순화됩니다. 벡터 외적 또는 행렬식 $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\x_2&y_2&1\x_3&y_3&1\end{vmatrix}$로 직접 넓이를 산출할 수 있습니다.

공식 선택 가이드

• 각도 정보 있음: $\frac{1}{2}a^2\sin\theta$
• 세 변 모두 알 때: 헤론 공식을 먼저 떠올리되, 대칭 관계로 간소화
• 변·밑변 관계 주어짐: 피타고라스 + 높이 활용

결론

이등변 삼각형의 넓이를 구하는 과정은 문제에서 어떤 정보가 제공되느냐에 따라 가장 효율적인 방법을 선택하는 것이 포인트입니다. 키워드는 높이, 삼각비, 벡터, 헤론 공식 네 가지 기둥을 두고 필요한 때에 꺼내 쓰면 됩니다. 다양한 유도 과정에 익숙해지면 복합도형 분할이나 공학적 설계에서도 활용폭이 크게 늘어납니다. 이번 글이 학습과 실전 문제풀이에 이정표가 되길 바랍니다.