등차수열의 합 공식 유도와 예시

등차수열의 합 공식 유도와 예시

등차수열(Arithmetic Progression)은 수학의 기초 개념이지만, 학교를 졸업하고 나서도 재무 설계·통계 분석·프로그래밍 알고리즘 등 다양한 분야에서 빈번히 등장합니다. 이번 글에서는 등차수열의 정의부터 등차수열의 합 공식 유도, 다양한 유도 방법, 실전 예시, 파이썬 코드 구현까지 한 번에 정리하여 드리겠습니다. 수식 설명은 $...$ 표기법을 활용해 가독성을 높였으며, 예시는 가능한 한 풍부하게 실어 실제 업무·학습에 즉시 적용하실 수 있습니다.

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등차수열의 기본 개념

• 정의: 첫째항을 $a_1$, 공차(common difference)를 $d$라 할 때, $n$번째 항 $a_n$은
  $a_n = a_1 + (n-1)d$
• 특징
  • 항 간 차이가 일정합니다.
  • 그래프로 표현하면 1차 함수 형태의 직선이 그려집니다.
  • 평균값이 항상 중간 값(짝수 항 수일 때는 두 중간 값의 평균)과 같습니다.

간단 예시

$a_1 = 3$, $d = 4$인 경우:
$3,; 7,; 11,; 15,; 19,;\dots$
여기서 다섯 번째 항은 $a_5 = 3 + 4\times(5-1) = 19$입니다.

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등차수열의 합 공식: 두 가지 대표적 유도법

가우스의 짝짓기(뒤집어 더하기) 방법

1. 수열 $S_n$을 정순·역순으로 두 줄 적습니다.
2. $$$\begin{aligned}
   S_n &= a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} + a_n \
   S_n &= a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_2 + a_1
   \end{aligned}$$
   $$$
3. 두 식을 항별로 합하면 각각의 열이 $(a_1+a_n)$로 동일:
   $2S_n = (a_1+a_n) + (a_1+a_n) + \dots + (a_1+a_n) \quad (n\text{번})$
4. $2S_n = n(a_1+a_n) ;\Rightarrow; \boxed{S_n = \dfrac{n}{2}(a_1+a_n)}$

평균×개수(평균값 활용) 방법

• 첫째항과 마지막 항의 평균이 $(a_1+a_n)/2$
• 항이 $n$개 있으므로 총합은 평균×개수:
  $\boxed{S_n = \dfrac{n}{2}(a_1+a_n)}$
• $a_n$ 대신 $a_1+(n-1)d$를 대입하면 또 하나의 형태:
  $S_n = \dfrac{n}{2}\bigl{2a_1 + (n-1)d\bigr}$

Tip: 시험이나 코딩 테스트에서 두 공식 중 편한 형태를 선택해 활용하세요. 첫째항·마지막 항을 알고 있으면 첫 식, 공차를 알고 있으면 두 번째 식이 손쉽습니다.

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공식 검증: 작은 수열로 계산해 보기

• 예시 수열: $5,; 8,; 11,; 14,; 17$
  • 직접 더한 값: $5+8+11+14+17 = 55$
  • 공식 이용: $a_1=5,; a_n=17,; n=5$
    $S_5 = \dfrac{5}{2}(5+17) = \dfrac{5}{2}\times22 = 55$
  • 두 값이 완벽히 일치합니다.

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실전 활용 시나리오

투자 적립금 계산

• 매달 10만원씩(등차수열의 공차가 10) 1년간 적립한다면?
  • $a_1 = 10,; d = 10,; n = 12$
  • 총 적립 금액:
    $S_{12} = \dfrac{12}{2}{2\times10 + (12-1)\times10} = 6(20+110) = 780$
  • 총 780만원을 적립하게 됩니다(복리 이자 제외).

프로젝트 단계별 인력 투입

• 초기 3명으로 시작해 매주 2명씩 추가, 8주 프로젝트라면 총 인력·맨위크는?
  • $a_1=3,; d=2,; n=8$
  • 주별 투입 인원 합계 $S_8$:
    $S_8 = \dfrac{8}{2}{2\times3 + (8-1)\times2} = 4(6+14) = 80$
  • 80맨위크가 필요합니다.

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파이썬으로 등차수열 합 한 줄 구현

def arithmetic_sum(a1, d, n):
    return n * (2*a1 + (n-1)*d) // 2

print(arithmetic_sum(3, 4, 5))  # 55

실무 자동화 스크립트를 작성할 때 함수화해 두면 수기로 계산할 필요가 없습니다.

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등차수열 합에 관한 자주 묻는 질문(FAQ)

공차가 음수여도 사용 가능한가요?

가능합니다. $d$가 음수라면 감소하는 수열일 뿐 공식 자체는 변하지 않습니다.

소수·분수 항에도 적용되나요?

네. $a_1$, $d$에 실수(real number) 값을 넣어도 동일하게 동작합니다. 다만 $\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$ 계산 시 부동소수점 오차에 주의하세요.

합 대신 평균을 구하고 싶다면?

평균은 $\dfrac{S_n}{n} = \dfrac{a_1+a_n}{2}$ 입니다. 첫째항·마지막 항 평균과 동일합니다.

항 번호 대신 합으로 항을 찾을 수 있나요?

합 공식 양변을 다시 정리해 이차방정식 형태($n$에 대해)로 풀면 가능합니다. 실무에서는 수치해석이나 파이썬의 sympy 모듈을 활용하세요.

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결론

등차수열은 단순히 ‘간격이 일정한 수들의 모임’이지만, 그 합 공식 $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$은 현대 금융, 프로젝트 관리, 프로그래밍 등 실질적 문제 해결에 직결됩니다. 본문에서 제시한 가우스 짝짓기와 평균×개수 두 가지 유도법을 숙지하시면, 상황에 맞춰 빠르게 응용하실 수 있습니다. 끝으로, 직접 손으로 몇 번 빠르게 계산해 보시고 간단한 스크립트로 자동화해 보세요. 학습 효과가 배가될 것입니다.

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