정답률 71% 수학문제 이차 연립방정식 a+b답 구하기

정답률 71 % 수학 문제 완전 해설: 로그 연립방정식으로 a + b 구하기

“log₂(x − 3) = log₂(y + 1) ,
x + y − 8 = 0의 해를 $x=a,;y=b$라 할 때 $a+b$의 값을 구하여라.”

로그가 어쩌고 저쩌고...에서 넋을 놓으면 29%에 들어간다. 마찬가지로 a-b의 답도 구할 수 있고 이를 통해서 a, b도 다 구할 수 있지만 문제는 관대하게도 a, b 합의 값을 구하란다. 이 문제 보자마자 답을 내지 못하면 그냥 죽어라. 그런 의지도 없고 뇌도 없는 유전자를 세상에 퍼트려서 뭐 할래? 인류에게 민폐 끼치지 말고 그냥 하직하셔. 설명을 해도 모를 뇌니까 설명 듣지 말고 혀 깨물어라.

눈치 빠른 넘들의 문제 풀이

• x+y-8=0.
• x+y=8.
• a+b=8.

참 쉽죠잉~

a-b는 어떻게 구할까?

첫 방정식의 로그를 다 제거한다. 양변이 다 로그이므로 괄호 안의 것만 남기면 된다.

• x-3=y+1.
• x-y=4.
• a-b=4.

정식 문제 해석과 조건 정리

• 로그 함수의 정의
  • $\log_2(u)$가 정의되려면 $u>0$이어야 합니다.
  • 따라서 $x-3>0 \Rightarrow x>3$, $y+1>0 \Rightarrow y>-1$.
• 주어진 식 정리
  1. $\log_2(x-3)=\log_2(y+1)$
  2. $x+y-8=0$ (또는 $x+y=8$)

로그 방정식의 핵심 성질

• 밑(2)과 로그값이 같은 두 식이 있다면, 진수도 같습니다.
  $\log_2(A)=\log_2(B);\Longrightarrow;A=B;(\text{단, }A,B>0)$

진수 비교로 1차 방정식 만들기

• $x-3 = y+1 ;\Rightarrow; x-y = 4$

연립 1차 방정식 풀이

1. $x+y = 8$
2. $x-y = 4$

두 식을 가감법으로 풀면

• 두 식을 더하기:
  $2x = 12 ;\Rightarrow; x = 6$
• 첫 식에 대입:
  $6 + y = 8 ;\Rightarrow; y = 2$

→ 해: $x=6,;y=2$ (정의역 $x>3,;y>-1$을 만족)

구하고자 하는 값

$a+b = x+y = 6+2 = 8$

따라서 정답은 8입니다.

a‑b 값까지 한 번에?

• 앞서 얻은 $x-y=4$이므로 $a-b=4$도 즉시 확인 가능합니다.
• 이렇게 1차 연립방정식 두 개만으로 동시에 $a+b$와 $a-b$를 구해 두 미지수를 모두 확보할 수 있습니다.

로그 연립방정식 풀이 팁

• 정의역 먼저 검토: 로그가 포함된 연립방정식은 진수 조건을 놓치면 ‘허수해’나 빈 해집합을 얻게 되기 쉽습니다.
• 진수 비교: 같은 밑의 로그식이 좌우에 있을 때는 양변의 로그를 없애고 진수만 비교하면 1차 식으로 단순화됩니다.
• 가감법 활용: $x+y$, $x-y$ 처럼 합과 차로 바꿔 쓰면 두 미지수를 빠르게 결정할 수 있습니다.

결론

정답률이 71 %라는 문구가 붙어 있지만, 핵심 개념은 로그 정의와 1차 연립방정식입니다. 정의역 확인 → 진수 비교 → 가감법 순서대로 접근하면 실수 없이 정답 $a+b=8$에 도달하실 수 있습니다.

한가빈 - 내용이 너무 딱딱한 글이라, 안구 정화겸, 최애 트롯가수 한가빈 움짤^^;